\section{模糊粗糙集与其上下近似}
\subsection{模糊集}
\begin{defn}[模糊集]
    $U$ 是论域, $A$ 是从 $U$ 到 $[0,1]$ 的映射. 则称 $A$ 是 $U$ 上的一个模糊集, $A(x)$ 称为模糊集合 $A$ 的隶属函数. 
\end{defn}
\begin{defn}[模糊集合的运算]
    设 $A,B$ 都是模糊集合, 则 
    $$\begin{aligned}
        (A \bigcup B)(x) = A(x)\vee B(x)  \\ 
        (A \bigcap B)(x) = A(x)\wedge B(x)
        (A^c)(x) = 1- A(x)
    \end{aligned} $$
\end{defn}
\begin{defn}[数乘]
    $A$ 是模糊集, 定义 
    $$ (\lambda A)(u) = \lambda \wedge A(u) $$
    叫做 $\lambda$ 和 $A$ 的数乘或者数量积.
\end{defn}
\begin{defn}[水平截集]
    $A$ 是模糊集, $\lambda \in [0,1]$ .称
    $$ A_\lambda = \left\{ x\in U\Big|A(x)\ge \lambda \right\} $$
    是 $A$ 的水平截集
    $$ A_{\underline{\lambda}}=\left\{ x\in U\Big|A(x)>\lambda \right\} $$
    是 $A$ 的水平强截集.
\end{defn}
\begin{theorem}[分解定理]
    设 $U$ 是论域, $A\in \mathscr{F}(U)$, 则有 
    $$ A=\bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda = \bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_{\underline{\lambda}} $$  
\end{theorem}
\begin{theorem}[表现定理]
    设 $U$ 是论域, $A(\lambda):[0,1]\to P(U)$ 和 $A(\underline{\lambda}):[0,1]\to P(U)$ 是两个取值为 $U$ 的子集的映射, 如果两个映射满足公理:
    \begin{enumerate}
        \item $A(0)=U,A(\underline{1})=\varnothing$;
        \item 若 $\lambda_1\le \lambda_2$ 则 $A(\lambda_1)\supseteq A(\lambda_2),A(\underline{\lambda_1})\supseteq A(\underline{\lambda_2})$;
        \item 若 $\lambda_n$ 严格递增收敛于 $\lambda$ ,则有 $A_\lambda = \bigcap_{n=1}^\infty A(\lambda_n)$ ;若 $\lambda_n$ 严格递减收敛于 $\lambda$, 则有 $A(\underline{\lambda})=\bigcup_{n=1}^\infty A(\underline{\lambda_n})$.   

    \end{enumerate}  
    则存在 $A\in \mathscr{F}(U)$ 使得 $A_\lambda = A(\lambda)$ 和 $A_{\underline{\lambda}}=A(\underline{\lambda})$. 
\end{theorem}
\begin{framed}
    分解定理和表现定理实际上是指模糊集和经典集合的互相转化.对于某些模糊集未必很好处理, 但是通过分解定理将其表达为经典集合, 通过对经典集合处理后在通过表现定理转回模糊集, 这样就是间接的对模糊集进行处理.即 
$$ A\to \text{一些经典集}B_i\to B_i'(B_i \text{经过处理后})\to f(B_i')\text{(转化为模糊集)} $$
\end{framed}

\subsection{模糊粗糙集}

\subsubsection{模糊集合的上下近似}

\begin{defn}
    设 $U$ 是一个非空论域, $R$ 是 $U$ 上的模糊等价关系，对于任意的 $A\in \mathscr{F}(U)$ ,定义 $A$ 的上下近似集合如下:
    $$ \begin{aligned}
        &(R^*A)(x) = \sup_{u\in U}\min\left\{ R(x,u),A(u) \right\}, \\ 
        &(R_*A)(x) = \inf_{x\in U}\max\left\{ 1-R(x,u),A(u) \right\}.
    \end{aligned} $$
\end{defn}

% 模糊集合的上下近似可以分别解释为相对于 $R$ , $x$ 属于 $A$ 的最大和最小可能的程度.


在这里我的理解是:

\begin{framed}
    经典粗糙集和模糊粗糙集的构造上相似! 理由如下
    \begin{proof}
        给定一个信息系统 $(U,A,V,F)$ 且 $B\in \mathscr{P}(A),F\in \mathscr{F}(A)$ 分别是 $A$ 的经典子集和模糊子集. 根据 $B$ 可以生成等价关系
        $$ R_B = \left\{ (x,y)\in U\times U\Big| f_l(x)=f_l(y),\forall l\in B \right\} $$
        然后有划分 
        $$ U/R_B = \left\{ [x]_{R_B}\Big|x\in U \right\} $$
        接下来就有上下近似, $X\subseteq U$ 
        $$ \begin{aligned}
            \underline{R_B}(X) &= \left\{ x\Big|[x]_{R_B}\subseteq X \right\}\\ 
            \overline{R_B}(X) &= \left\{ x\Big|[x]_{R_B}\bigcap X\ne \varnothing \right\}
        \end{aligned} $$

        如果这时我们假定 $R$ 是模糊关系, $\forall x,y \in U, R(x,y)\in [0,1]$ .划分也是模糊划分
        $$ \begin{aligned}
            \relax[x]_R:  & U \to     [0,1]\\ 
                    & y \mapsto R(x,y)
        \end{aligned} $$ 
        的话, 那么上近似的式子 $ [x]_R \bigcap F \ne \varnothing $ 就要改写成 
        $$ \forall y\in U, [x]_R(y) \bigwedge F(y) > 0 $$
        即 
        $$ \forall y\in U, R(x,y) \bigwedge F(y)>0 $$
        所以就有了 
        $$ (R^*A)(x)=\bigvee_{y\in U}\left( R(x,y) \bigwedge A(y) \right) $$
        然后通过对偶性 
        $$ R_*A = \sim (R^*(\sim A)) $$
        来得到下近似的式子. 

        \textbf{但是有一个小小的疑惑, 我通过经典下近似的内涵推不出来模糊下近似的内涵, 只可以用这种对偶的方式来推出来. 在以后的学习过程中看看能不能解决.}
    \end{proof}
\end{framed}